Chapter 6 : Pengukuran Penyimpangan (Range, Simpangan Rata-Rata dan Standar Deviasi)

1.   Range

      Range adalah  ukuran yang paling sederhana dari ukuran penyebaran.

      Rumus: data terbesar – data terkecil

2.   Simpangan Rata-Rata (Sr)

Simpangan rata-rata nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap data-data kelompok.

Cara menentukan presentil dibagi menjadi 2 tipe, yaitu data tunggal dan data kelompok.

Data Tunggal

Rumus: Sr = 1/N ∑ | xi - Ẋ |

Keterangan:

∑    = Nilai rata-rata (Jumlah data : Banyak data)

Ẋ    = Rata-rata

xi   = data ke i

n    = Jumlah data

Contoh:

Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut: 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7.

Ẋ = 6 + 4 + 8 + 10 + 11 + 10 + 7

   = 56 : 7 = 8

N = 7

Xi = 6, 4, 10, 11, 10, 7

Penyelesaian:

Sr   = 1/N ∑ |(xi - Ẋ)|

            = 1/7 x |(6 – 8) + (4 – 8) + (8 – 8) + (10 – 8) + (11 – 8) + (10 – 8) + (7 – 8)|

            = 1/7 x | 2 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 |

            = 1/7 x 14

            = 14/7 = 2

Data Kelompok

Rumus: Sr = 1/N ∑fi | xi - Ẋ |

Keterangan:

∑    = Nilai rata-rata (Jumlah data : Banyak data)

Ẋ    = Rata-rata

xi   = Data ke i

fi    = Frekuensi

n    = Jumlah data

Contoh:

      Tentukan simpangan rata-rata dari data table berikut:

xi	f
4	3
5	8
6	10
7	4
	25

Penyelesaian:

xi	f	xf	xi - Ẋ		fi (xi - Ẋ)
4	3	12	4 – 5.6 = 1.6		3 x 1.6 = 4.8
5	8	40	5 – 5.6 = 0.6		4 x 0.6 = 4.8
6	10	60	6 – 5.6 = 0.4		5 x 0.4 = 4
7	4	28	7 – 5.6 = 1.4		6 x 1.4 = 5.6
	25	140		4		19.2

Ẋ    = ∑fxi : N = 140 : 25 = 5.6

Penyelesaian:

Sr   =  1/n ∑fi | xi - Ẋ |

     = 1/25 x 19.2

      = 19.2/25

      = 0.768 = 0.77

3.   Standar Deviasi (Simpangan Baku) (S)

Standar deviasi adalah suatu nilai yang menunjukan tingkat (derajat) varian kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari mean-nya.

Rumus: S = √1/N  ∑|(xi - Ẋ)²|

Keterangan:

S = Simpangan²

n = Jumlah data

xi   = Data ke i

Ẋ = Rata-rata

Contoh:

Tentukan standar deviasi dari data berikut: 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7.

Ẋ = 6 + 4 + 8 + 10 + 11 + 10 + 7

   = 56 : 7 = 8

N = 7

Xi = 6, 4, 10, 11, 10, 7

Penyelesaian:

S    = √1/N  ∑|(xi - Ẋ)²|

            =  √1/7 x |(6 – 8)² + (4 – 8)² + (8 – 8)² + (10 – 8)² + (11 – 8)² + (10 – 8)² + (7 – 8)²|

            = √1/7 x | 4 + 16 + 0 + 4 + 9 + 4 + 1 |

            = √1/7 x 38

            = √5.43 ð Kalau varian jadinya hanya 5.43

      = 2.33

¯ Catatan: Kalau varian itu tanpa di akar lagi

Chapter 5 : Kuartil, Desil dan Presentil

.   Kuartil (Q)

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diukur atau data yang berkelompok menjadi empat bagian yang sama besar.

Cara menentukan kuartil dibagi menjadi 2 tipe, yaitu data tunggal dan data kelompok.

Data Tunggal

Rumus: Qi = 1 x ((n + 1) : 4)  atau 2 x ((n + 1) : 4)   atau 3 x ((n + 1) : 4) 

Contoh:         

Tentukan kuartil dari data berikut: 71, 69, 70, 48, 79, 61, 69, 83, 57, 54, 90,

ð 48, 54, 57, 61, 69, 69, 70, 71, 79, 83, 90

Kuartil 1 = 57

Kuartil 2 = 79

Data Kelompok

Rumus : Qi = L + ((i/4N – Cf) x I) : f

Keterangan:

Q     = Kuartil

L      = Titik bawah

N     = Banyak data

i       = Kuartil 1, 2, 3

Cf    = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

f      = Frekuensi kelas kuartil

I       = Panjang kelas

Contoh:

Tentukan kuartil 1 dan 3 dari data table berikut:

Interval	f
87-108	2
109-130	6
131-152	10
153-174	4
175-196	3
	25

Q1

Penyelesaian:

N     = 25

1/4N= ¼ x 25 = 6.25

L      = 109 – 0.5 = 108.5

Cf    = 2

f      = 6

I       = 22

Q1 = L + ((1/4N – Cf) x I) : f

           = 108.5 + ((6.25 – 2) x 22) : 6

           = 108.5 + (4.25 x 22) : 6

           = 108.5 + 93.5 : 6

           = 108.5 + 15.58

           = 124.08

Q3

Penyelesaian:

N     = 25

3/4N= 3/4 x 25 = 18.75

L      = 153 – 0.5 = 152.5

Cf    = 2 + 6 + 10 = 18

f      = 4

I       = 22

Q3 = L + ((3/4N – Cf) x I) : f

           = 152.5 + ((18.75 – 18) x 22) : 4

           = 152.5 + (0.75 x 22) : 4

           = 152.5 + 16.5 : 4

           = 152.5 + 4.125

           = 156.625

2.   Desil (Ds)

Desil adalah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke dalam 10 bagian yang sma besar,  yang masing-masing sebesar 1/10 N.

Cara menentukan desil dibagi menjadi 2 tipe, yaitu data tunggal dan data kelompok.

Data Tunggal

Rumus: Ds = 1 x ((n + 1) : 10) atau 2 x ((n + 1) : 10) atau 3 x ((n + 1) : 10) …. 10 x ((n + 1) : 10)

Data Kelompok

Rumus : Dsi = L + ((i/10N – Cf) x I) : fd

Keterangan:

D     = Desil

L      = Titik bawah

N     = Banyak data

i       = Desil 1, 2, 3 … 10

Cf    = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

fd    = Frekuensi kelas desil

I       = Panjang kelas

Contoh:

Tentukan Desil 7 dari data table berikut:

Interval	f
87-108	2
109-130	6
131-152	10
153-174	4
175-196	3
	25

Ds 7

Penyelesaian:

N             = 25

7/10N     = 7/10 x 25 = 17.5

L              = 131 – 0.5 = 130.5

Cf            = 2 + 6 = 8

fd            = 10

I               = 22

Ds 7 = L + ((7/10N – Cf) x I) : fd

         = 130.5 + ((17.5 – 8) x 22) : 10

               = 130.5 + (9.5 x 22) : 10

               = 130.5 + 209 : 10

               = 130.5 + 20.9

               = 151.4

3.   Presentil (Ps)

Presentil adalah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke dalam 100 bagian yang sma besar,  karena itu presentil sering disebut ukuran perseratusan.

Cara menentukan presentil dibagi menjadi 2 tipe, yaitu data tunggal dan data kelompok.

Data Tunggal

Rumus: Ps = 1 x ((n + 1) : 100) atau 2 x ((n + 1) : 100) atau 3 x ((n + 1) : 100) …. 99 x ((n + 1) : 100)

Data Kelompok

Rumus : Psi = L + ((i/100N – Cf) x I) : fd

Keterangan:

D     = Presentil

L      = Titik bawah

N     = Banyak data

i       = Presentil 1, 2, 3 … 100

Cf    = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

fd    = Frekuensi kelas presentil

I       = Panjang kelas

Contoh:

Tentukan presentil 94 dari data table berikut:

Interval	f
87-108	2
109-130	6
131-152	10
153-174	4
175-196	3
	25

Ps 94

Penyelesaian:

N             = 25

94/100N = 94/100 x 25 = 23.5

L             = 175 – 0.5 = 174.5

Cf            = 2 + 6 + 8 + 10 + 4 = 22

fps          = 3

I              = 22

Ps94 = L + ((94/100N – Cf) x I) : fd

                = 174.5 + ((23.5 – 22) x 22) : 3

                 = 174.5 + (1.5 x 22) : 3

                 = 174.5 + 33 : 3

                = 174.5 + 11

                = 185.5

Chapter 4 : Pengukuran Gejala Pusat (Mean, Modus dan Median)

1.   Mean (Ẋ)

Mean adalah nilai rata-rata dari beberapa buah data. Nilai mean dapat ditentukan dengan membagi jumlah data dengan banyaknya data.

Cara menentukan mean dibagi menjadi 2 tipe, yaitu data tunggal dan data kelompok.

Data Tunggal

Rumus: Ẋ = Jumlah semua data : Banyak data

Contoh:         

Tentukan mean dari data berikut: 4, 6, 6, 7, 5, 7, 6, 7.

Ẋ = Jumlah semua data : Banyak data

                                                          

Ẋ = 48 : 8 = 6

Data Kelompok

      Rumus : Ẋ = ∑fxi : ∑f

Keterangan:

Ẋ   = Nilai rata-rata data

f   = Frekuensi

xi  = Titik tengah

Contoh:

Tentukan mean dari data tabel berikut:

Interval	f	xi	f.xi
31-39	1	35	35
40-48	3	44	132
49-57	6	53	318
58-66	13	62	806
67-75	12	71	852
76-84	2	80	160
85-93	3	89	267
	40		2570

Penyelesaian:

∑f               = 40

∑fxi   = 2570

Penyelesaian:

      Ẋ = ∑fxi : ∑f

Ẋ = 2570 : 40 = 64.25

2.   Modus (Mo)

Modus adalah data yang paling sering muncul, atau data yang mempunyai frekuensi terbesar. Jika semua data mempunyai frekuensi yang sama berarti data-data tersebut tidak memiliki modus, tetapi jika terdapat dua yang mempunyai frekuensi tersebut maka data-data tersebut memiliki dua buah modus.

Cara menentukan modus dibagi menjadi 2 tipe, yaitu data tunggal dan data kelompok.

Data Tunggal

Contoh:

Tentukan modus dari data berikut: 71, 69, 70, 48, 79, 61, 69, 83, 57.

Modus = 69

Data Kelompok

Rumus : Mo = L + d1 x I : (d1 + d2)

Keterangan:

Mo  = Modus

L      = Titik bawah

d1    = Selisih frekuensi kelas modus - sebelumnya

d2    = Selisih frekuensi kelas modus - sesudahnya

I       = Panjang kelas

Contoh:

Tentukan modus dari data table berikut:

Interval	f
87-108	2
109-130	6
131-152	10
153-174	4
175-196	3
	25

Penyelesaian:

L    = 131 - 0.5 = 130,5

d1    = 10 – 6 = 4

d2    = 10 – 4 = 6

I       = 22

Mo = L + d1 x I : (d1 + d2)

       = 130.5 + 4 x 22 : (4 + 6)       

       = 130.5 + 88 : 10

       = 130.5 + 8.8

       = 139.3

3.   Median (Md)

Median adalah titik tengah dari semua data yang telah diurutkan dari data yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya.

Cara menentukan median dibagi menjadi 2 tipe, yaitu data tunggal dan data kelompok.

Data Tunggal Ganjil

Tentukan median dari data berikut: 71, 69, 70, 48, 79, 61, 69, 83, 57.

ð 48, 57, 61, 69, 69, 70, 71, 79, 83.

Median = 69

Data Tunggal Genap

Tentukan median dari data berikut: 71, 69, 70, 48, 79, 61, 69, 83, 57, 74.

ð 48, 57, 61, 69, 69, 70, 71, 74, 79, 83.

Median = (69 + 70) : 2

              = 139 : 2

              = 69.5

Data Kelompok

Rumus : Md = L + ((N/2 – Cf) x I) : f

Keterangan:

Md  = Median

L      = Titik bawah

N     = Banyak data

N/2  = Cara menentukan titik tengah

Cf    = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

f      = Frekuensi kelas median

I       = Panjang kelas

Contoh:

Tentukan median dari data table berikut:

Interval	f
87-108	2
109-130	6
131-152	10
153-174	4
175-196	3
	25

Penyelesaian:

N     = 25

N/2  = 25/2 = 12.5

L      = 131 – 0.5 = 130.5

Cf    = 6 + 2 = 8

f      = 10

I       = 22

Md = L + ((N/2 – Cf) x I) : f

             = 130.5 + ((12.5 – 8) x 22) : 10

             = 130.5 + (4,5 x 22) : 10

             = 130.5 + 99 : 10

             = 130.5 + 9.9

             = 140.4